求证:LNX<X

要证lnx<x 即证lnx-x<0；
令f(x)=lnx-x （1）
由于lnx中x的定义域为x>=0
对(1)求导得 f(x)'=1/x-1
1.当0<x<=1时f(x)'=1/x-1>0
所以f(x)为增函数
故f(x)<f(1)=-1<0
所以f(x)<0 即lnx<x
2.当x>1时f(x)'=1/x-1<0
所以f(x)为减函数
故f(x)<f(1)=-1<0
所以f(x)<0 即lnx<x
综上即可证明

令f(x)=LNx-x，只需证明f(x)在定义域x>0时恒小于0即可
f'(x)=1/x-1 易知在f'(x)=0时，即x=1时，f(x)取得最大值
f(x)max=LN1-1=-1<0,一个函数的最大值小于0
所以f(x)恒<0
即LNx<x

令f(x)=x-LNX,F`(X)=1-1/X,(X>0),F`(X)>0得X>1,F`(X)<0得0<X<1,所以当X=1,F(X)取得极小即最小值,为F(1)=0,所以X-LNX>=0,当且仅当X=1取等号,命题得证.

设函数F(x)=x-lnx，则F'(x)=1-1/x。当x>1时，F'(x)>0，即F(x)单调增，当x=1时F(x)=1，因此F(x)在x>1时恒大于0。x-lnx>0, lnx<x。
另外还要讨论一下0<x<1的情况，此时lnx<0，命题恒成立。